Нижегородский математик решил уравнение, считавшееся нерешаемым с XIX века

Математик из Нижнего Новгорода нашел способ решить дифференциальное уравнение, считавшееся нерешаемым с XIX века. Иван Ремизов вывел универсальную формулу для решения задач, которые более 190 лет считались нерешаемыми аналитическим путем. Об этом сообщает пресс-служба НИУ ВШЭ НН. В школе на уроках математики учат, что для нахождения x в уравнении ax2+bx+c=0 нужно просто подставить коэффициенты a, b и c в готовую формулу вычисления корня уравнения через дискриминант.

Это удобно, быстро и понятно. Однако в высшей математике, в которой описываются сложные процессы, используются уравнения вида ay»+ by’+cy=g. Это тоже уравнение второго порядка, но не алгебраическое, а дифференциальное.

«Представьте, что вы едете на машине. Если дорога идеально ровная, а скорость постоянная, рассчитать время в пути легко. Это задача с постоянными коэффициентами. А теперь представьте, что покрытие дороги постоянно меняется, ветер дует с разной силой, угол наклона горы под колесами все время разный. В таких условиях ваша скорость и время зависят от множества меняющихся факторов», — поясняют в пресс-службе вуза.

Такой пример можно описать дифференциальными уравнениями второго порядка. В них на месте обычных чисел в качестве коэффициентов стоят функции — величины, которые сами постоянно меняются. А вместо простого возведения в квадрат стоит операция вычисления второй производной — математический аналог того, как резко машина разгоняется или тормозит.

Такие уравнения описывают всё — от колебаний маятника и сигналов в электросетях до движения планет. Однако далее решение задачи не шло, и формулы не было, и пытаться искать ее перестали.

Нижегородский ученый нашел выход. Он добавил к стандартным математическим действиям нахождение предела последовательности.

С помощью этого удалось записать формулу, в которую можно подставить коэффициенты a, b, c и g уравнения ay»+ by’+cy=g, и найти его решение — функцию y.

«Представьте, что искомое решение уравнения — это большая картина. Рассмотреть ее сразу целиком очень трудно. Но математика умеет отлично описывать процессы, развивающиеся во времени. Результатом работы стала теорема, которая позволяет «нарезать» этот процесс на множество маленьких простых кадров, а затем с помощью преобразования Лапласа собрать из этих кадров единую статичную картину — решение сложного уравнения, то есть резольвенту. Проще говоря, вместо того, чтобы гадать, как выглядит картина, теорема позволяет восстановить облик, быстро прокручивая «киноленту» ее создания», — пояснил старший научный сотрудник Международной лаборатории динамических систем и приложений НИУ ВШЭ в Нижнем Новгороде Иван Ремизов.

Такие уравнения используются не только для моделирования событий реального мира, но и для определения новых функций, которые нельзя задать иным образом. Это, например, специальные функции Матье и Хилла, которые объясняют, как движутся спутники на орбите или протоны в Большом адронном коллайдере.

«Единственное рабочее определение таких функций заключается в том, что они являются решениями конкретных сложных уравнений. Это как если бы вы не знали имени человека и могли описать его только через работу. Например: тот человек, который водит красный автобус по пятому маршруту. Понятно, о ком идет речь, но на практике не помогает обратиться к нему по имени», — рассказал Иван Ремизов.

Предложенный автором подход позволяет выражать решения уравнений через их коэффициенты напрямую. Благодаря этому специальные функции теперь можно задавать явными формулами.

Ранее на сайте pravda-nn.ru сообщалось, что комплекс для автоматизации проектирования вышек связи создали ученые ННГАСУ.